SISTEMAS_ELECTRONICOS_PARA_INGENIERIA_BIOMEDICA

Respuesta en frecuencia II

Frecuencia de corte

La frecuencia de corte ($\omega_c$) es la frecuencia en que:

$A_V(\omega_c) = \frac{max(A_V(\omega))}{\sqrt{2}}$

En otras palabras, $A_V(\omega_c)$ es el $A_V(\omega)$ maximo dividido por $\sqrt{2}$

La origen del valor $\sqrt{2}$ es que se define la frecuencia de corte como la frecuencia en que la potencia de la señal es la mitad de la maxima. Como la potencia de una señal eléctrica es proporcional al voltaje al cuadrado, para reducir la potencia a la mitad basta reducir el voltaje por $\sqrt{2}$.

$pot \propto V^2 \implies pot = K V^2$

$\therefore \frac{pot}{2} = K(\frac{V}{\sqrt{2}})^2$

Recordatorio: para encontrar el maximo de una función se calcula el valor de la función cuando su derivada es cero y también en los extremos del intervalo. En el caso de $A_v(\omega)$, los extremos del intervalo son $\omega = 0$ y $\omega \to +\infty$

Ejemplo:

$H(s) = \frac{1}{RCs+1}$

$A_v(\omega) = |H(j\omega)| = |\frac{1}{RCj\omega+1}|$

$A_v(\omega) = \frac{1}{\sqrt{(RC\omega)^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{R^2C^2\omega^2+1}}$

Se observa que $A_v(\omega)$ es una función estrictamente descendiente con respecto a $\omega$ (cuanto mayor $\omega$, menor $A_v(\omega)$). Por lo tanto, el valor maximo de $A_v(\omega)$ se da en el extremo inferior del intervalo ($\omega = 0$):

$max(A_V(\omega)) = A_V(0) =\frac{1}{\sqrt{R^2C^20^2+1}} = 1$

Por lo tanto, para encontrar la frecuencia de corte:

$A_V(\omega_c) = \frac{max(A_V(\omega))}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{R^2C^2\omega_c^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{R^2C^2\omega_c^2+1} = \frac{1}{2}$

$R^2C^2\omega_c^2+1 = 2$

$R^2C^2\omega_c^2 = 1$

$\omega_c^2 = \frac{1}{R^2C^2}$

$\omega_c = \frac{1}{RC}$

Nótese que la frecuencia de corte se obtiene en $rad/s$. Si se desea obtener el valor en Hz:

$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}$

$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$

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