SISTEMAS_ELECTRONICOS_PARA_INGENIERIA_BIOMEDICA

Osciladores

Introducción

$R_1=10\ k\Omega$ ,$R_2= 2 R_1 = 20\ k\Omega$, $C_1=C_2=10\ nF$ y $R_a=R_b=10\ k\Omega$

$H(s) = \frac{v_o}{v_i} = \frac{2}{ 1 + 2 R_1C_1s+ 2R_1^2C_1^2s^2}$

$ A_v(\omega) = \frac{2}{\sqrt{1 + 4 (R_1C_1 \omega)^4 }}$

$A = \frac{R_a + R_b}{R_b}$

$H(s) = \frac{v_o}{v_i} = \frac{A}{ 1 + (4-A)R_1C_1s + 2R_1^2C_1^2s^2}$

21_1

Figura 2: Respuesta a escalón de un sistema con dos pólos reales negativos (A=1)

21_2

Figura 3: Respuesta a escalón de un sistema con dos pólos complejos conjugados con parte real negativa (A=2)

21_3

Figura 4: Respuesta a escalón de un sistema con dos pólos puramente imaginarios conjugados. (A=4)

21_4

Figura 5: Respuesta a escalón de un sistema con dos pólos complejos conjugados con parte real positiva (A=5)

21_5

Figura 6: Respuesta a escalón de un sistema con dos pólos reales positivos (A=10)

para simulación de circuitos : https://explore.partquest.com/

Criterio de oscilación de Barkhausen

abeta

$V_o = A V_i$

$V_o = A (V_s + V_f)$

$V_o = A (V_s + \beta V_o)$

$V_o(1 - A \beta)= A V_s $

$\frac{V_o}{V_s} = \frac{A}{1 - A \beta} $

Que es lo que pasa cuando $A(j\omega) \beta(j\omega) = 1$ para algún $\omega$ ?

Respuesta: una señal con frecuencia $\omega$ se amplificaría infinitamente por este sistema.

Si $A \beta < 1$ para cierto $\omega_1$, significa que señales con frecuencia $\omega_1$ decaen de amplitud naturalmente cuando se apaga la entrada.

Si $A \beta > 1$ para cierto $\omega_2$, significa que señales con frecuencia $\omega_2$ aumentan de amplitud naturalmente incluso cuando se apaga la entrada.

Cuano $A \beta = 1$, para cierto $\omega_3$, significa que señales con frecuencia $\omega_3$ mantienen su amplitud incluso cuando se apaga la entrada.

Aplicando el criterio al circuito inicial:

abeta

$V_+ = V_1\frac{1/C_2 s}{1/C_2 s + R_2}$

$V_1 = V_+ (1+R_2C_2s)$

$R_{eq}=R_1 //( R_2 + 1/C_2s)$

$R_{eq}=\frac{1}{1/R_1 + 1/(R_2 + 1/C_2s)}$

$R_{eq}=\frac{1}{1/R_1 + C_2s/(R_2 C_2 s + 1)}$

$R_{eq}=\frac{R_1(R_2 C_2 s + 1)}{(1+R_2 C_2 s + R_1C_2s)}$

$V_1 = \frac{R_{eq}}{R_{eq} + 1/C_1 s} V_o$

$V_+ (1+R_2C_2s) = \frac{\frac{R_1(R_2 C_2 s + 1)}{(1+R_2 C_2 s + R_1C_2s)}}{\frac{R_1(R_2 C_2 s + 1)}{(1+R_2 C_2 s + R_1C_2s)} + 1/C_1 s} V_o$

$V_+ = \frac{\frac{R_1}{(1+R_2 C_2 s + R_1C_2s)}}{\frac{R_1 C_1 s(R_2 C_2 s + 1) + (1+R_2 C_2 s + R_1C_2s)}{(1+R_2 C_2 s + R_1C_2s)C_1 s}} V_o$

$V_+ = \frac{R_1 C_1 s}{R_1 C_1 s(R_2 C_2 s + 1) + 1+R_2 C_2 s + R_1C_2s} V_o$

$\frac{V_+}{V_o} = \frac{R_1 C_1 s}{1 +R_2 C_2 s + R_1C_2s + R_1 C_1 s + R_1 R_2 C_1 C_2 s^2} $

Aplicando criterio de oscilación de Barkhausen:

$A \beta = 1$

$A \frac{R_1 C_1 j \omega}{1 +R_2 C_2 j \omega + R_1C_2j \omega + R_1 C_1 j \omega - R_1 R_2 C_1 C_2 \omega^2} = 1$

$A R_1 C_1 j \omega = 1 +R_2 C_2 j \omega + R_1C_2j \omega + R_1 C_1 j \omega - R_1 R_2 C_1 C_2 \omega^2$

Igualando partes reales e imaginarias:

(1) $A R_1 C_1 j \omega = R_2 C_2 j \omega + R_1C_2j \omega + R_1 C_1 j \omega $

(2) $0 = 1 - R_1 R_2 C_1 C_2 \omega^2$

resolviendo (2):

$\omega = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2 }} = \frac{1}{R_1 C_1 \sqrt{2}}$

esta es la frecuencia de oscilación del sistema en el caso de que oscile.

resolviendo (1):

$A R_1 C_1 = R_2 C_2 + R_1C_2 + R_1 C_1 $

$A R_1 C_1 = 2 R_1 C_1 + R_1 C_1 + R_1 C_1 $

$A = 4 $

este es el valor de A que genera polos con parte real igual a cero. Es el punto limite en que empieza a oscilar el sistema.

Ejercicio

osc

Cuál es el valor minimo de $\frac{R_f}{R_i}$ para que el circuito oscile, y a que frecuencia se produce la señal en este caso ?

Capítulos del libro

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